Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh tính được các số hạng đầu của dãy cho bởi hệ thức truy hồi.
- Học sinh thiết lập được hệ thức truy hồi đơn giản từ một quy luật.
Khám phá
Ở quầy nước của câu lạc bộ, ngày đầu tiên Mai bán được 5 chai. Mỗi ngày sau, số chai bán được nhiều hơn ngày trước 2 chai. Nếu muốn biết ngày thứ tư bán được bao nhiêu chai, Mai có thể tính lần lượt từ ngày đầu. Cách mô tả “lấy số hôm trước rồi làm theo một quy tắc” chính là một ý tưởng của hệ thức truy hồi.
Em thử nghĩ: để tính số chai ngày thứ tư, cần biết những số liệu nào?
Kiến thức trọng tâm
Hệ thức truy hồi mô tả một hoặc nhiều số hạng của dãy thông qua số hạng trước đó. Muốn xác định dãy, ta cần biết số hạng đầu (hoặc một số số hạng đầu) và quy tắc truy hồi.
Ví dụ, dãy bắt đầu bằng 5 và mỗi số hạng sau lớn hơn số hạng trước 2 có thể viết:
$$u_1=5,\qquad u_{n+1}=u_n+2\quad (n\ge 1).$$
Từ đó tính lần lượt: $u_2$ dựa vào $u_1$, $u_3$ dựa vào $u_2$, rồi tiếp tục. Quy tắc chưa kèm số hạng đầu thì thường chưa xác định được duy nhất một dãy.
Phân biệt: Hệ thức truy hồi cần đi từ số hạng đã biết để tìm số hạng kế tiếp. Công thức tổng quát cho phép tính trực tiếp số hạng theo chỉ số $n$. Với ví dụ trên, công thức tổng quát là $u_n=5+2(n-1)$; còn hệ thức truy hồi là $u_1=5$, $u_{n+1}=u_n+2$.
Cách làm: Ghi số hạng đầu; thay số hạng vừa tìm được vào quy tắc; tính lần lượt và kiểm tra mỗi số hạng có tuân theo quy tắc không.
Hãy chọn số hạng đầu $u_1=2$ và công bội $q=3$ trong mô phỏng; quan sát mỗi số hạng tiếp theo được tạo bằng cách nhân số hạng trước với $q$.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Tính lần lượt các số hạng
Cho dãy $(u_n)$ với $u_1=4$ và $u_{n+1}=u_n+3$. Tính $u_2,u_3,u_4,u_5$.
- Từ $u_1=4$, ta có $u_2=u_1+3=4+3=7$.
- Dùng $u_2=7$: $u_3=u_2+3=7+3=10$.
- Dùng $u_3=10$: $u_4=u_3+3=10+3=13$.
- Dùng $u_4=13$: $u_5=u_4+3=13+3=16$.
Vậy các số hạng cần tìm lần lượt là $7,10,13,16$. Ta luôn dùng số hạng vừa tính để tìm số hạng kế tiếp.
Ví dụ 2: Viết hệ thức truy hồi từ quy luật
Một dãy bắt đầu bằng $7$; mỗi số hạng sau bằng số hạng trước cộng $4$. Hãy viết hệ thức truy hồi và tính bốn số hạng đầu.
- Số hạng đầu là $u_1=7$.
- “Cộng $4$ vào số hạng trước” được viết là $u_{n+1}=u_n+4$ với $n\ge 1$.
- Tính lần lượt: $u_2=7+4=11$, $u_3=11+4=15$, $u_4=15+4=19$.
Vậy hệ thức truy hồi là $u_1=7$, $u_{n+1}=u_n+4$; bốn số hạng đầu là $7,11,15,19$.
Ví dụ 3: Quy tắc không nhất thiết là cộng cùng một số
Cho $u_1=3$ và $u_{n+1}=2u_n-1$. Tính $u_2,u_3,u_4$.
- $u_2=2u_1-1=2\cdot 3-1=5$.
- $u_3=2u_2-1=2\cdot 5-1=9$.
- $u_4=2u_3-1=2\cdot 9-1=17$.
Vậy bốn số hạng đầu là $3,5,9,17$. Mỗi bước phải thay đúng số hạng liền trước vào quy tắc.
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
- Quên số hạng đầu: Chỉ có quy tắc chưa đủ để bắt đầu tính. Hãy ghi rõ giá trị như $u_1=\dots$.
- Nhảy bước: Khi tính $u_4$, cần có $u_3$ trước. Viết các phép tính theo thứ tự để tránh nhầm.
- Nhầm truy hồi với công thức tổng quát: Trong $u_{n+1}=u_n+2$, vế phải dùng số hạng trước; công thức tổng quát như $u_n=5+2(n-1)$ tính trực tiếp theo $n$.
- Mẹo nhớ: “Biết điểm xuất phát, làm theo quy tắc, tiến từng bước.”
Tự kiểm tra nhanh
- Cho $u_1=6$, $u_{n+1}=u_n-2$. Tính $u_2,u_3,u_4$.
- Dãy bắt đầu bằng $3$, mỗi số hạng sau gấp đôi số hạng trước. Hãy viết hệ thức truy hồi và tính $u_2,u_3$.
- Trong hệ thức $u_1=4$, $u_{n+1}=u_n+5$, phần nào là số hạng đầu và phần nào là quy tắc truy hồi?
Đáp án tự kiểm tra — hãy xem sau khi làm:
- $u_2=4$, $u_3=2$, $u_4=0$.
- $u_1=3$, $u_{n+1}=2u_n$ với $n\ge 1$; $u_2=6$, $u_3=12$.
- Số hạng đầu là $u_1=4$; quy tắc truy hồi là $u_{n+1}=u_n+5$.