Dãy số đơn điệu và bị chặn
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh xác định được tính tăng, giảm của một dãy số trong các trường hợp đơn giản.
- Học sinh kiểm tra được một dãy số có bị chặn hay không bằng lập luận phù hợp.
Khám phá
Một ứng dụng theo dõi lượng nước trong bình sau mỗi lần rót thêm. Gọi uₙ là phần bình đã có nước sau lần rót thứ n. Giả sử lượng nước được mô tả bởi uₙ = n/(n + 1). Khi số lần rót tăng, lượng nước có tăng mãi không? Có lúc nào vượt quá dung tích của bình không?
Ta sẽ dùng hai câu hỏi: các số hạng tăng hay giảm, và chúng có nằm trong một giới hạn nào không.
Kéo thanh trượt n từ 1 đến 10; quan sát uₙ tăng dần nhưng vẫn ở dưới đường y = 1.
Kiến thức trọng tâm
Dãy tăng, dãy giảm: Dãy số (uₙ) là dãy tăng nếu uₙ₊₁ > uₙ với mọi n; là dãy giảm nếu uₙ₊₁ < uₙ với mọi n.
Để kiểm tra, thường xét dấu hiệu uₙ₊₁ − uₙ: hiệu dương thì dãy tăng, hiệu âm thì dãy giảm. Với dãy dương, đôi khi có thể so sánh tỉ số uₙ₊₁/uₙ với 1.
Dãy bị chặn: Dãy (uₙ) bị chặn trên nếu có một số M sao cho uₙ ≤ M với mọi n. Dãy bị chặn dưới nếu có một số m sao cho m ≤ uₙ với mọi n. Dãy bị chặn khi vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
Điều cần nhớ: Dãy tăng hoặc giảm chưa chắc đã bị chặn. Cần kiểm tra riêng tính đơn điệu và giới hạn trên, dưới.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Dãy tăng nhưng không bị chặn
Xét uₙ = 3n − 2 với n ≥ 1. Xác định tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy.
Tính hiệu hai số hạng liên tiếp: uₙ₊₁ − uₙ = [3(n + 1) − 2] − (3n − 2) = 3 > 0.
Vậy dãy tăng.
Vì n ≥ 1 nên uₙ ≥ 1, do đó dãy bị chặn dưới. Nhưng khi n tăng, 3n − 2 tăng không giới hạn, nên dãy không bị chặn trên.
Kết luận: Dãy tăng và không bị chặn.
Ví dụ 2: Dãy tăng và bị chặn
Xét uₙ = n/(n + 1) với n ≥ 1.
Xét hiệu: uₙ₊₁ − uₙ = (n + 1)/(n + 2) − n/(n + 1) = 1/[(n + 1)(n + 2)] > 0.
Vậy dãy tăng.
Ta có 0 < n/(n + 1) < 1 vì n > 0 và n < n + 1.
Kết luận: Dãy bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1, nên bị chặn.
Ví dụ 3: Xét dãy cho bởi hệ thức truy hồi
Cho u₁ = 0 và uₙ₊₁ = (uₙ + 4)/2 với n ≥ 1. Chứng minh dãy tăng và bị chặn.
Chứng minh bị chặn: Ta chứng minh 0 ≤ uₙ < 4. Với n = 1, điều này đúng vì u₁ = 0. Nếu 0 ≤ uₙ < 4 thì uₙ₊₁ = (uₙ + 4)/2, nên 0 ≤ uₙ₊₁ < 4. Vậy theo quy nạp, 0 ≤ uₙ < 4 với mọi n.
Chứng minh tăng: Từ uₙ < 4, ta có uₙ₊₁ − uₙ = (4 − uₙ)/2 > 0.
Vậy dãy tăng, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 4.
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
Thấy dãy tăng không có nghĩa là dãy bị chặn trên. Ví dụ ở Ví dụ 1.
Chứng minh bị chặn trên không đủ để kết luận dãy bị chặn; cần có cả một chặn dưới.
Với dãy cho bởi hệ thức truy hồi, có thể chứng minh một khoảng chứa mọi số hạng bằng quy nạp, rồi dùng khoảng đó để xét dấu uₙ₊₁ − uₙ.
Mẹo nhớ: Hiệu liên tiếp giúp xét tăng, giảm; các bất đẳng thức chứa mọi số hạng giúp xét bị chặn.
Tự kiểm tra nhanh
Dãy uₙ = 5 − 2n với n ≥ 1 tăng hay giảm? Dãy có bị chặn không?
Dãy uₙ = n/(n + 2) với n ≥ 1 có tăng và bị chặn không?
Dãy v₁ = 2, vₙ₊₁ = vₙ/2 với n ≥ 1 có tăng hay giảm? Dãy có bị chặn không?
Đáp án — xem sau khi tự làm:
Dãy giảm vì uₙ₊₁ − uₙ = −2. Dãy bị chặn trên bởi 3 nhưng không bị chặn dưới, nên không bị chặn.
Dãy tăng vì uₙ₊₁ − uₙ = 2/[(n + 2)(n + 3)] > 0. Đồng thời 0 < uₙ < 1, nên dãy bị chặn.
Dãy giảm vì các số hạng dương và mỗi số hạng sau bằng một nửa số hạng trước. Ta có 0 < vₙ ≤ 2, nên dãy bị chặn.