Khái niệm và cách cho một dãy số

Khám phá

Mai ghi lại số cây được trồng sau mỗi buổi sinh hoạt: buổi đầu trồng thêm cây, buổi sau trồng thêm cây, rồi tiếp tục như vậy. Mỗi buổi ứng với một vị trí trong danh sách; số cây ở vị trí đó là một số hạng. Làm sao mô tả được cả danh sách mà không cần viết mãi từng số?

Hãy kéo thanh trượt của n để xem chỉ số thay đổi thì số hạng tương ứng cũng thay đổi thế nào.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Tính số hạng từ công thức

Cho dãy có số hạng tổng quát $u_n=2n+1$. Tìm $u_1$, $u_3$ và $u_5$.

1. Thay $n=1$: $u_1=2\cdot1+1=3$.
2. Thay $n=3$: $u_3=2\cdot3+1=7$.
3. Thay $n=5$: $u_5=2\cdot5+1=11$.

Vậy các số hạng cần tìm lần lượt là $3$, $7$ và $11$. Chỉ số nào thì thay đúng chỉ số ấy vào công thức.

Ví dụ 2: Đọc quy luật truy hồi

Một dãy bắt đầu bằng $u_1=4$. Mỗi số hạng sau hơn số hạng ngay trước đó $3$ đơn vị. Viết quy luật truy hồi và tìm bốn số hạng đầu.

1. Viết cách tạo số hạng tiếp theo: $u_{n+1}=u_n+3$ với $n\ge1$.
2. Bắt đầu từ $u_1=4$, ta có $u_2=4+3=7$.
3. Tiếp tục: $u_3=7+3=10$ và $u_4=10+3=13$.

Bốn số hạng đầu là $4$, $7$, $10$, $13$. Cần có số hạng đầu để quy luật truy hồi xác định được dãy.

Ví dụ 3: Viết công thức từ quy luật

Cho quy luật: số hạng ở vị trí thứ $n$ bằng bình phương của $n$ cộng $1$. Viết công thức tổng quát và tìm số hạng thứ $4$.

1. “Bình phương của $n$ cộng $1$” được viết là $u_n=n^2+1$.
2. Thay $n=4$: $u_4=4^2+1=17$.

Vậy công thức là $u_n=n^2+1$, và số hạng thứ $4$ bằng $17$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: nhầm chỉ số $n$ với giá trị $u_n$. Hãy tự hỏi: “Đây là vị trí hay số ở vị trí đó?”
• Lỗi: có quy luật truy hồi nhưng quên số hạng đầu. Khi đó chưa xác định được dãy cụ thể.
• Mẹo: biết công thức tổng quát thì thay chỉ số cần tìm; biết truy hồi thì bắt đầu từ số hạng đầu và làm lần lượt.
• Lưu ý: một vài số hạng đầu có thể khớp với nhiều công thức khác nhau. Muốn xác định cả dãy, cần biết quy luật dự định.

Tự kiểm tra nhanh

1. Cho $u_n=3n-2$. Tính $u_1$ và $u_4$.
2. Dãy có $u_1=5$ và $u_{n+1}=u_n+2$. Tìm $u_2$ và $u_3$.
3. Quy luật là “số hạng thứ $n$ bằng $n$ nhân với $n$”. Viết công thức tổng quát.