Điểm, đường thẳng và mặt phẳng

Khám phá: Một tấm bảng trong phòng học

Hãy tưởng tượng mặt bảng được kéo dài mãi theo mọi hướng. Trên đó có một vết bút thẳng, cũng được kéo dài mãi, và một chấm mực nằm trên vết bút. Trong hình học không gian, ta mô tả những hình ảnh ấy bằng ba đối tượng cơ bản: điểm, đường thẳng và mặt phẳng.

Khi vẽ lên giấy, ta chỉ có thể vẽ một phần của đường thẳng hay mặt phẳng. Hình vẽ là cách giúp ta quan sát, không phải kích thước thật của các đối tượng.

Kiến thức trọng tâm

Quan sát mô phỏng: tìm điểm nằm trên đường thẳng, điểm nằm trong mặt phẳng nhưng ngoài đường thẳng, và điểm được vẽ ngoài mặt phẳng biểu diễn.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Đọc kí hiệu

Cho $A \in d$, $B \notin d$ và $d \subset (P)$. Hãy diễn đạt các kí hiệu bằng lời.

1. $A \in d$ nghĩa là điểm $A$ nằm trên đường thẳng $d$.
2. $B \notin d$ nghĩa là điểm $B$ không nằm trên đường thẳng $d$.
3. $d \subset (P)$ nghĩa là đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$; do đó mọi điểm trên $d$, trong đó có $A$, đều thuộc $(P)$.

Vì sao? Kí hiệu $\subset$ ở đây nói về toàn bộ đường thẳng, không chỉ một điểm riêng lẻ trên đó.

Ví dụ 2: Gọi tên mặt phẳng

Ba điểm $M$, $N$, $K$ không thẳng hàng cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết tên mặt phẳng ấy.

1. Chọn ba điểm không thẳng hàng $M$, $N$, $K$.
2. Dùng cả ba điểm để gọi tên mặt phẳng: $(MNK)$.

Kết luận: Mặt phẳng có thể được gọi là $(MNK)$. Điều kiện không thẳng hàng quan trọng vì ba điểm thẳng hàng cùng nằm trên vô số mặt phẳng, nên không xác định được duy nhất một mặt phẳng.

Ví dụ 3: Mô tả một hình biểu diễn

Trong hình bình hành $ABCD$ biểu diễn mặt phẳng $(ABCD)$, đường thẳng $d$ nằm hoàn toàn trong hình và điểm $P$ nằm trên $d$. Hãy nêu các quan hệ có thể kết luận.

1. Vì $P$ nằm trên đường thẳng $d$, ta viết $P \in d$.
2. Vì $d$ nằm trong mặt phẳng đang biểu diễn, ta viết $d \subset (ABCD)$.
3. Từ hai quan hệ trên, suy ra $P \in (ABCD)$.

Vì sao? Mọi điểm thuộc một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đều thuộc mặt phẳng ấy.

Lỗi hay gặp và mẹo nhớ

• Nhầm $\in$ với $\subset$: điểm dùng quan hệ thuộc với đường thẳng hoặc mặt phẳng; đường thẳng nằm trong mặt phẳng thì dùng $\subset$.
• Coi hình bình hành là toàn bộ mặt phẳng: hình bình hành chỉ biểu diễn một phần, còn mặt phẳng thực tế kéo dài vô hạn.
• Gọi mặt phẳng bằng ba điểm thẳng hàng: muốn dùng ba điểm để xác định mặt phẳng, ba điểm phải không thẳng hàng.
• Mẹo nhớ: “điểm thuộc, đường thẳng nằm trong”; hãy nhìn đối tượng ở bên trái kí hiệu để chọn đúng quan hệ.

Tự kiểm tra nhanh

1. Nếu $M \in d$ và $d \subset (Q)$, ta kết luận gì về $M$ và $(Q)$?
2. Điểm $A$ không nằm trên đường thẳng $b$ được viết bằng kí hiệu nào?
3. Ba điểm dùng để gọi tên một mặt phẳng cần thỏa mãn điều kiện gì?