Vị trí tương đối trong không gian

Khám phá

Hãy tưởng tượng các thanh giằng trong một mái che ở sân trường. Có hai thanh gặp nhau tại một nút, hai thanh chạy cùng hướng nhưng không gặp nhau, và cũng có hai thanh ở hai mặt khác nhau, không gặp nhau mà chẳng cùng hướng. Trong không gian, ta cần phân biệt rõ những trường hợp ấy.

Quan sát đường thẳng và mặt phẳng trong mô phỏng: xác định đường thẳng d, điểm P, điểm Q và điểm R nằm ở đâu so với mặt phẳng.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Phân loại hai đường thẳng

Cho hình hộp $KLMN.K'L'M'N'$. Xét các cặp $KL$ và $KK'$, $KL$ và $MN$, $KL$ và $MM'$.

1. $KL$ và $KK'$ có điểm chung $K$. Chúng cắt nhau tại $K$.
2. $KL$ và $MN$ là hai cạnh đối của đáy hình hộp. Chúng cùng nằm trong mặt phẳng đáy, không có điểm chung nên song song.
3. $KL$ và $MM'$ không có điểm chung. Chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên chéo nhau.

Điểm mấu chốt ở cặp cuối là kiểm tra cả tính đồng phẳng, không chỉ kiểm tra giao điểm.

Ví dụ 2: Xác định vị trí của đường thẳng với mặt phẳng

Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm phân biệt $A$, $B$. Biết $A \in (P)$ và $B \notin (P)$. Hỏi $d$ có vị trí nào đối với $(P)$?

1. Điểm $A$ thuộc cả $d$ và $(P)$.
2. Vì $B$ không thuộc $(P)$ nên $d$ không nằm trong $(P)$.
3. Đường thẳng không nằm trong mặt phẳng mà có điểm chung $A$ với mặt phẳng nên $d$ cắt $(P)$ tại $A$.

Ví dụ 3: Nhận diện đường thẳng nằm trong mặt phẳng

Đường thẳng $m$ đi qua hai điểm phân biệt $C$, $D$, trong đó $C \in (Q)$ và $D \in (Q)$. Xác định vị trí của $m$ đối với $(Q)$.

1. Cả hai điểm phân biệt $C$ và $D$ đều thuộc $(Q)$.
2. Qua hai điểm phân biệt chỉ có một đường thẳng. Đường thẳng đi qua $C$, $D$ vì thế nằm trong $(Q)$.

Kết luận: $m \subset (Q)$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Thấy hai đường thẳng không gặp nhau rồi kết luận chúng song song. Sửa: Kiểm tra chúng có đồng phẳng không; không đồng phẳng thì chúng chéo nhau.
• Lỗi: Cho rằng đường thẳng có một điểm thuộc mặt phẳng thì nằm trong mặt phẳng. Sửa: Cần hai điểm phân biệt của đường thẳng thuộc mặt phẳng để kết luận đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
• Mẹo nhớ hai đường thẳng: Có một điểm chung → cắt nhau; không chung điểm, đồng phẳng → song song; không chung điểm, không đồng phẳng → chéo nhau.

Tự kiểm tra nhanh

1. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung thì có vị trí nào?
2. Hai đường thẳng không có điểm chung, không đồng phẳng thì có vị trí nào?
3. Đường thẳng $d$ có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng $(P)$. Kết luận vị trí của $d$ đối với $(P)$.