Đường thẳng song song với mặt phẳng

Khám phá

Trong một mái che sân trường, thanh ngang được đặt phía trên mặt phẳng của sàn. Thanh ấy có cùng hướng với một đường thẳng nằm trên sàn, nhưng không chạm vào sàn. Ta có thể dùng mối liên hệ giữa thanh ngang và đường thẳng trên sàn để mô tả vị trí của thanh so với mặt phẳng sàn.

Trong hình học không gian, ta sẽ dùng một dấu hiệu tương tự để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.

Hãy kéo đầu mút F để thay đổi hướng của đường thẳng d; đối chiếu hướng của d với cạnh AB trong hình minh họa. Hình vẽ là hình biểu diễn quy ước, nên khi chứng minh vẫn cần nêu đủ các điều kiện hình học.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ

Ví dụ 1. Nhận biết dấu hiệu

Cho mặt phẳng (P), đường thẳng a nằm trong (P) và đường thẳng d không nằm trong (P). Biết d song song với a. Hãy kết luận vị trí của d đối với (P).

Lời giải từng bước:

1. Ta có $a \subset (P)$.
2. Đề bài cho $d \parallel a$ và $d \not\subset (P)$.
3. Theo dấu hiệu đường thẳng song song với mặt phẳng, suy ra $d \parallel (P)$.

Ví dụ 2. Chứng minh trong hình chóp

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh $MN \parallel (ABCD)$.

Lời giải từng bước:

1. Xét tam giác SAB. Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên theo định lí đường trung bình, $MN \parallel AB$.
2. Ta có $AB \subset (ABCD)$.
3. Mặt phẳng (SAB) cắt mặt phẳng (ABCD) theo đường thẳng AB. Đường thẳng MN song song với AB và khác AB nên không nằm trong (ABCD).
4. Vậy MN song song với một đường thẳng AB thuộc (ABCD), đồng thời $MN \not\subset (ABCD)$. Theo dấu hiệu, $MN \parallel (ABCD)$.

Ví dụ 3. Chứng minh trong lăng trụ

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Chứng minh $AA′ \parallel (BCC′B′)$.

Lời giải từng bước:

1. Trong lăng trụ, các cạnh bên song song nên $AA′ \parallel BB′$.
2. Cạnh $BB′$ nằm trong mặt bên (BCC′B′).
3. Đường thẳng AA′ không nằm trong mặt phẳng (BCC′B′). Thật vậy, AA′ song song với BB′ nhưng là cạnh bên đi qua A, còn mặt phẳng này chứa cạnh bên BB′.
4. Vậy AA′ song song với một đường thẳng BB′ thuộc (BCC′B′), đồng thời $AA′ \not\subset (BCC′B′)$. Suy ra $AA′ \parallel (BCC′B′)$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Chỉ chứng minh d song song với a mà quên nêu $a \subset (P)$. Hãy ghi rõ đường thẳng dùng làm “cầu nối” nằm trong mặt phẳng nào.
• Lỗi: Quên kiểm tra d không nằm trong mặt phẳng. Đây là điều kiện giúp phân biệt d song song với mặt phẳng và d nằm ngay trong mặt phẳng.
• Mẹo nhớ: Muốn chứng minh “đường thẳng song song mặt phẳng”, hãy tìm “đường thẳng song song nằm trong mặt phẳng”. Sau đó kiểm tra đường thẳng ban đầu không nằm trong mặt phẳng ấy.

Tự kiểm tra nhanh

1. Muốn dùng dấu hiệu để chứng minh $d \parallel (P)$, cần tìm đường thẳng nào và kiểm tra thêm điều kiện gì?
2. Trong hình chóp S.ABC, M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Đường trung bình của tam giác SAB song song với cạnh nào?
3. Trong lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′, dùng đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (BCC′B′) để chứng minh $AA′ \parallel (BCC′B′)$?

Đáp án tự kiểm tra — hãy tự làm trước khi đọc: Câu 1: Tìm a sao cho $a \subset (P)$, $d \parallel a$ và kiểm tra $d \not\subset (P)$. Câu 2: $MN \parallel AB$. Câu 3: Dùng $BB′$, vì $BB′ \subset (BCC′B′)$ và $AA′ \parallel BB′$.