Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh nêu và vận dụng được dấu hiệu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Học sinh chứng minh được một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong hình đơn giản.
Khám phá
Hãy tưởng tượng chân bàn đặt trên nền nhà. Khi chân bàn dựng thẳng và vuông góc với hai hướng cắt nhau trên nền, ta có thể kết luận chân bàn vuông góc với cả mặt nền. Trong hình học, hai hướng ấy được biểu diễn bằng hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
Quan sát mô phỏng mặt phẳng và pháp tuyến: hãy chú ý vectơ vuông góc với mặt cắt biểu diễn mặt phẳng như thế nào.
Kiến thức trọng tâm
Dấu hiệu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$, $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(P)$, thì $d$ vuông góc với $(P)$.
Viết gọn: nếu $a,b\subset(P)$, $a\cap b=H$, $d\perp a$ và $d\perp b$, thì $d\perp(P)$.
Vì sao dấu hiệu đúng? Hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng cho biết hai hướng độc lập của mặt phẳng. Khi $d$ vuông góc với cả hai hướng ấy, nó vuông góc với mọi hướng trong mặt phẳng, nên $d$ vuông góc với mặt phẳng.
Cách chứng minh: Chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng cần xét; chứng minh đường thẳng cần xét vuông góc với từng đường; cuối cùng áp dụng dấu hiệu.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Nhận diện dấu hiệu
Cho $a,b\subset(P)$, hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $d$ đi qua $H$, đồng thời $d\perp a$ và $d\perp b$. Chứng minh $d\perp(P)$.
- Hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau, cùng nằm trong $(P)$.
- Đường thẳng $d$ vuông góc với cả $a$ và $b$.
- Theo dấu hiệu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, suy ra $d\perp(P)$.
Ví dụ 2: Vận dụng trong hình chóp
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, tâm $O$. Biết $SA=SC$ và $SB=SD$. Chứng minh $SO\perp(ABCD)$.
- Vì $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường.
- Trong tam giác cân $SAC$, có $SA=SC$ và $O$ là trung điểm của $AC$. Vậy đường trung tuyến $SO$ vuông góc với đáy $AC$, tức là $SO\perp AC$.
- Tương tự, trong tam giác cân $SBD$, có $SB=SD$ và $O$ là trung điểm của $BD$. Vậy $SO\perp BD$.
- Hai đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau, cùng nằm trong $(ABCD)$. Vì $SO$ vuông góc với cả hai đường này, theo dấu hiệu ta có $SO\perp(ABCD)$.
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
- Lỗi: Chỉ chứng minh $d$ vuông góc với một đường thẳng trong $(P)$. Một đường thẳng chưa đủ để kết luận $d\perp(P)$.
- Lỗi: Chọn hai đường thẳng vuông góc nhưng không chứng minh chúng cắt nhau hoặc cùng nằm trong mặt phẳng cần xét.
- Mẹo nhớ: Muốn chứng minh “vuông góc mặt phẳng”, hãy tìm “hai đường cắt nhau trong mặt phẳng”.
Tự kiểm tra nhanh
- Muốn áp dụng dấu hiệu, cần chứng minh đường thẳng vuông góc với bao nhiêu đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng?
- Cho $a,b\subset(P)$, $a\cap b=H$, $d\perp a$ và $d\perp b$. Kết luận nào đúng?
- Trong Ví dụ 2, hai đường thẳng nào được dùng để áp dụng dấu hiệu?
Đáp án — hãy xem sau khi làm:
- Hai đường thẳng cắt nhau.
- $d\perp(P)$.
- Hai đường chéo $AC$ và $BD$.