Hai mặt phẳng vuông góc

Khám phá

Mai đang đứng trong phòng và nhìn chỗ sàn gặp bức tường. Hai mặt phẳng sàn và tường cắt nhau theo một đường thẳng. Một cạnh thẳng đứng của tường vuông góc với mặt sàn. Ta có thể dựa vào cạnh đó để kết luận gì về sàn và tường?

Để trả lời, trước hết ta cần biết góc giữa hai mặt phẳng được nhìn thấy và xác định như thế nào.

Quan sát hai vết biểu diễn mặt phẳng; kéo điểm B để đưa góc giữa chúng về 90°.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Hai mặt phẳng \((P)\), \((Q)\) cắt nhau theo \(\Delta\). Tại điểm \(O\) trên \(\Delta\), lấy \(a \subset (P)\), \(b \subset (Q)\), sao cho \(a \perp \Delta\), \(b \perp \Delta\). Biết góc không tù giữa \(a\) và \(b\) bằng \(42^{\circ}\). Tìm góc giữa hai mặt phẳng.

1. Hai đường thẳng \(a\), \(b\) lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và đều vuông góc với giao tuyến \(\Delta\).
2. Theo cách xác định góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa \((P)\) và \((Q)\) chính là góc không tù giữa \(a\) và \(b\).
3. Vậy góc giữa hai mặt phẳng bằng \(42^{\circ}\).

Ví dụ 2. Vận dụng dấu hiệu trực tiếp

Một bức tường biểu diễn mặt phẳng \((W)\), sàn nhà biểu diễn mặt phẳng \((F)\). Cạnh thẳng đứng \(d\) nằm trên tường và vuông góc với sàn. Chứng minh \((W) \perp (F)\).

1. Ta có \(d \subset (W)\).
2. Theo giả thiết, \(d \perp (F)\).
3. Mặt phẳng \((W)\) chứa đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((F)\). Theo dấu hiệu, \((W) \perp (F)\).

Ví dụ 3. Tìm đường thẳng thích hợp trong hình chóp

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \perp (ABC)\). Chứng minh \((SAB) \perp (ABC)\).

1. Đường thẳng \(SA\) nằm trong mặt phẳng \((SAB)\).
2. Theo giả thiết, \(SA \perp (ABC)\).
3. Mặt phẳng \((SAB)\) chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Suy ra \((SAB) \perp (ABC)\).

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Hai mặt phẳng cắt nhau thì kết luận ngay chúng vuông góc. Thực ra, chúng có thể tạo với nhau nhiều góc khác nhau.
• Lỗi: Chỉ chứng minh một đường thẳng trong mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng của mặt phẳng kia. Muốn kết luận đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, cần chứng minh nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó, hoặc dùng giả thiết đã cho.
• Mẹo: Khi cần chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, hãy tìm trước một đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.
• Mẹo: Góc giữa hai mặt phẳng là góc không tù tạo bởi hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.

Tự kiểm tra nhanh

1. Hai mặt phẳng cắt nhau theo \(\Delta\). Trong mỗi mặt phẳng chọn một đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) tại cùng một điểm. Góc không tù giữa hai đường này bằng \(67^{\circ}\). Góc giữa hai mặt phẳng bằng bao nhiêu?
2. Mặt phẳng \((P)\) chứa đường thẳng \(d\), và \(d \perp (Q)\). Kết luận gì về \((P)\) và \((Q)\)?
3. Cho \(SA \perp (ABC)\). Đường thẳng \(SA\) nằm trong mặt phẳng \((SAC)\). Hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((ABC)\) có vuông góc không?