Hai đường thẳng vuông góc

Khám phá: Hai lối đi có cần gặp nhau mới vuông góc?

Trong một khung giàn trang trí ở sân trường, một thanh ngang và một thanh đứng có thể nằm ở hai vị trí khác nhau nên không chạm nhau. Ta vẫn muốn biết hướng của chúng có vuông góc không. Vậy làm thế nào để so sánh góc giữa hai đường thẳng không cắt nhau?

Hãy tưởng tượng tịnh tiến một đường thẳng song song với chính nó cho đến khi nó cắt đường còn lại. Việc này không đổi hướng của đường thẳng, nên góc tạo thành giúp ta so sánh hai hướng ban đầu.

Kéo điểm A hoặc C để đổi hướng hai đường thẳng cắt nhau; quan sát số đo góc nhỏ và thử đưa góc về $90^{\circ}$. Sau đó liên hệ với cách tịnh tiến song song một đường thẳng khi hai đường ban đầu chéo nhau.

Kiến thức trọng tâm

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại $O$. Một góc tạo bởi chúng bằng $90^{\circ}$. Xét xem $a$ và $b$ có vuông góc không.

1. Vì $a$ và $b$ cắt nhau, góc giữa chúng là góc nhỏ tạo bởi hai đường thẳng.
2. Góc đó bằng $90^{\circ}$.
3. Vậy $a \perp b$.

Ví dụ 2: Hai đường thẳng chéo nhau trong hình lập phương

Xét hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Xét hai đường thẳng $AB$ và $CC'$.

1. $AB$ là cạnh nằm ngang, còn $CC'$ là cạnh thẳng đứng.
2. $AB$ và $CC'$ không cắt nhau, nên không thể đọc trực tiếp góc tại giao điểm.
3. Tịnh tiến đường thẳng $CC'$ song song với chính nó để đường mới đi qua $A$. Đường mới vuông góc với $AB$, vì vậy góc giữa $AB$ và $CC'$ bằng $90^{\circ}$.
4. Kết luận: $AB \perp CC'$, dù hai đường thẳng ban đầu không cắt nhau.

Ví dụ 3: Không lấy nhầm góc lớn

Hai đường thẳng $m$ và $n$ cắt nhau. Một trong các góc tạo bởi chúng bằng $120^{\circ}$. Tìm góc giữa hai đường thẳng.

1. Các góc kề bù có tổng bằng $180^{\circ}$.
2. Góc nhỏ hơn bằng $180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
3. Vậy góc giữa $m$ và $n$ là $60^{\circ}$, nên $m$ và $n$ không vuông góc.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Cho rằng hai đường thẳng phải cắt nhau mới vuông góc. Sửa: Trong không gian, hai đường thẳng chéo nhau vẫn có thể vuông góc.
• Lỗi: Chọn góc lớn hơn khi hai đường cắt nhau. Sửa: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ hơn, không vượt quá $90^{\circ}$.
• Mẹo nhớ: Không gặp nhau thì tịnh tiến song song để gặp nhau; giữ nguyên hướng rồi đo góc.

Tự kiểm tra nhanh

1. Hai đường thẳng chéo nhau có thể vuông góc không?
2. Hai đường thẳng cắt nhau tạo một góc $135^{\circ}$. Góc giữa chúng bằng bao nhiêu?
3. Trong hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$, hai đường thẳng $AB$ và $CC'$ có vuông góc không?