Cộng và trừ đa thức nhiều biến

Khám phá

Nhóm của An làm bảng trang trí cho hội chợ. Một tấm có diện tích được ghi là $2x^2+3xy$, tấm khác là $4x^2-xy$. Muốn tính tổng diện tích theo các phần cùng loại, ta cần gom những hạng tử có phần biến giống nhau. Vì sao có thể gộp $x^2$ với $x^2$, nhưng không gộp $x^2$ với $xy$?

Ta sẽ tìm câu trả lời bằng cách quan sát quy tắc gộp hạng tử đồng dạng.

Mô phỏng: Gộp hạng tử đồng dạng

Thử đổi hệ số trong mô phỏng để xem các hệ số của hai hạng tử đồng dạng được cộng lại như thế nào. Quy tắc này cũng áp dụng khi phần biến có nhiều chữ, chẳng hạn $xy$ hoặc $a^2b$.

Kiến thức trọng tâm

Hạng tử đồng dạng là các hạng tử có cùng phần biến, gồm cùng biến với cùng số mũ. Ví dụ, $3x^2y$ và $-5x^2y$ đồng dạng; còn $3x^2y$ và $3xy^2$ thì không.

Muốn cộng hoặc trừ đa thức, ta bỏ ngoặc, chú ý dấu đứng trước ngoặc, rồi thu gọn bằng cách cộng hoặc trừ hệ số của các hạng tử đồng dạng. Phần biến được giữ nguyên.

Ví dụ: $3x^2y-5x^2y=(3-5)x^2y=-2x^2y$.

Khi có dấu trừ trước ngoặc, đổi dấu từng hạng tử trong ngoặc: $-(a-b+c)=-a+b-c$.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Cộng hai đa thức

Cho $A=2x+3y-4$ và $B=5x-y+6$. Tính $A+B$.

Thay $A$ và $B$ vào tổng: $A+B=(2x+3y-4)+(5x-y+6)$.
Bỏ ngoặc rồi nhóm các hạng tử đồng dạng: $(2x+5x)+(3y-y)+(-4+6)$.
Tính các hệ số: $A+B=7x+2y+2$.

Ta chỉ gộp các hệ số của cùng phần biến; hạng tử tự do cũng được gộp với hạng tử tự do.

Ví dụ 2: Trừ hai đa thức

Cho $M=4a^2-3ab+2b^2+5$ và $N=a^2+2ab-5b^2-3$. Tính $M-N$.

Thay đa thức và đặt dấu trừ trước toàn bộ đa thức thứ hai: $M-N=(4a^2-3ab+2b^2+5)-(a^2+2ab-5b^2-3)$.
Bỏ ngoặc thứ hai bằng cách đổi dấu từng hạng tử: $M-N=4a^2-3ab+2b^2+5-a^2-2ab+5b^2+3$.
Gộp các hạng tử đồng dạng: $M-N=(4a^2-a^2)+(-3ab-2ab)+(2b^2+5b^2)+(5+3)$.
Vậy $M-N=3a^2-5ab+7b^2+8$.

Ví dụ 3: Cộng rồi thu gọn

Tính tổng $P+Q+R$, với $P=2m^2-3mn+n^2$, $Q=-5m^2+mn-4n^2$ và $R=m^2+2mn+6n^2$.

Viết các đa thức liền nhau: $P+Q+R=(2m^2-3mn+n^2)+(-5m^2+mn-4n^2)+(m^2+2mn+6n^2)$.
Gộp theo phần biến: $(2-5+1)m^2+(-3+1+2)mn+(1-4+6)n^2$.
Tính hệ số: $P+Q+R=-2m^2+3n^2$. Hạng tử $mn$ không còn vì hệ số của nó bằng $0$.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

Lỗi dấu: Khi trừ một đa thức, chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên trong ngoặc. Mẹo: Dấu trừ trước ngoặc tác động đến tất cả hạng tử bên trong.
Gộp nhầm: Cộng các hạng tử có phần biến khác nhau, như $x^2$ và $x$. Hai hạng tử này không đồng dạng vì số mũ khác nhau.
Mẹo nhớ: “Cùng phần biến thì gộp hệ số; khác phần biến thì để riêng.”

Tự kiểm tra nhanh

Hãy tự làm trước khi xem đáp án ở cuối bài.

Thu gọn: $3x+2y-5x+4y$.
Tính: $(2a^2+3ab)-(a^2-2ab)$.
Tính: $(x^2+2xy)+(3x^2-5xy)$.

Đáp án: Câu 1: $-2x+6y$. Câu 2: $a^2+5ab$. Câu 3: $4x^2-3xy$.