Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần
Sau bài này, em sẽ
- Học sinh tính được diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật và hình lập phương.
- Học sinh tính được diện tích toàn phần khi biết các kích thước cần thiết.
Khám phá: Gói một chiếc hộp
Mai muốn dán giấy màu quanh bốn mặt bên của một chiếc hộp quà, nhưng không dán mặt trên và mặt dưới. Bạn ấy cũng muốn biết cần bao nhiêu giấy nếu dán kín cả chiếc hộp. Hai câu hỏi này cần hai loại diện tích khác nhau.
Hãy quan sát mô phỏng và thử lần theo các mặt của chiếc hộp. Em hãy xác định đâu là các mặt bên, đâu là hai mặt đáy.
Trong mô phỏng, hãy lần theo lưới hộp có kích thước $6\,\mathrm{cm}$, $4\,\mathrm{cm}$, $3\,\mathrm{cm}$; đếm đủ sáu mặt và phân biệt hai mặt đáy với bốn mặt bên.
Kiến thức trọng tâm
Diện tích xung quanh là tổng diện tích các mặt bên. Với hình hộp chữ nhật, đó là tổng diện tích của bốn hình chữ nhật xung quanh; không tính hai mặt đáy.
Gọi độ dài, chiều rộng đáy lần lượt là $a$, $b$ và chiều cao là $h$. Khi trải bốn mặt bên ra, chúng ghép thành một hình chữ nhật có một cạnh bằng chu vi đáy và cạnh kia bằng chiều cao. Vì thế:
$$S_{\text{xq}}=2(a+b)h$$
Diện tích toàn phần là tổng diện tích tất cả các mặt, gồm diện tích xung quanh và diện tích hai mặt đáy:
$$S_{\text{tp}}=S_{\text{xq}}+2ab$$
Với hình lập phương cạnh $a$, bốn mặt bên đều là hình vuông bằng nhau, và cả sáu mặt đều là hình vuông bằng nhau:
$$S_{\text{xq}}=4a^{2},\qquad S_{\text{tp}}=6a^{2}$$
Diện tích được viết bằng đơn vị vuông, chẳng hạn $\mathrm{cm}^{2}$ hoặc $\mathrm{m}^{2}$. Hãy dùng cùng một đơn vị độ dài cho mọi kích thước trước khi tính.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Tính diện tích xung quanh
Một hộp chữ nhật có đáy dài $8\,\mathrm{cm}$, rộng $5\,\mathrm{cm}$ và cao $3\,\mathrm{cm}$. Tính diện tích xung quanh.
- Chu vi đáy là $2\cdot(8+5)=26\,\mathrm{cm}$.
- Diện tích xung quanh là $26\cdot3=78\,\mathrm{cm}^{2}$.
Đáp số: $78\,\mathrm{cm}^{2}$.
Ví dụ 2: Tính diện tích toàn phần
Một hộp chữ nhật có chiều dài $6\,\mathrm{cm}$, chiều rộng $4\,\mathrm{cm}$ và chiều cao $3\,\mathrm{cm}$. Tính diện tích toàn phần.
- Diện tích xung quanh là $2\cdot(6+4)\cdot3=60\,\mathrm{cm}^{2}$.
- Diện tích hai mặt đáy là $2\cdot6\cdot4=48\,\mathrm{cm}^{2}$.
- Diện tích toàn phần là $60+48=108\,\mathrm{cm}^{2}$.
Đáp số: $108\,\mathrm{cm}^{2}$.
Ví dụ 3: Hình lập phương
Một hộp dạng hình lập phương có cạnh dài $4\,\mathrm{cm}$. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.
- Diện tích một mặt là $4^{2}=16\,\mathrm{cm}^{2}$.
- Diện tích xung quanh là $4\cdot16=64\,\mathrm{cm}^{2}$.
- Diện tích toàn phần là $6\cdot16=96\,\mathrm{cm}^{2}$.
Đáp số: Diện tích xung quanh là $64\,\mathrm{cm}^{2}$; diện tích toàn phần là $96\,\mathrm{cm}^{2}$.
Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ
- Nhầm hai loại diện tích: diện tích xung quanh chỉ tính bốn mặt bên; diện tích toàn phần tính cả hai mặt đáy.
- Quên nhân đôi: hình hộp chữ nhật có hai mặt đáy bằng nhau, nên diện tích hai mặt đáy là $2ab$.
- Mẹo nhớ: “xung quanh” là phần bao quanh; “toàn phần” là xung quanh cộng hai đáy.
- Kiểm tra đơn vị: nếu các kích thước tính bằng xăng-ti-mét thì kết quả diện tích phải tính bằng xăng-ti-mét vuông.
Tự kiểm tra nhanh
- Hình lập phương cạnh $5\,\mathrm{cm}$ có diện tích toàn phần bằng bao nhiêu?
- Hình hộp chữ nhật có đáy dài $7\,\mathrm{cm}$, rộng $2\,\mathrm{cm}$, cao $4\,\mathrm{cm}$. Diện tích xung quanh bằng bao nhiêu?
- Diện tích toàn phần gồm diện tích của những mặt nào?
Đáp án — hãy làm trước khi đọc:
- $6\cdot5^{2}=150\,\mathrm{cm}^{2}$.
- $2\cdot(7+2)\cdot4=72\,\mathrm{cm}^{2}$.
- Diện tích toàn phần gồm bốn mặt bên và hai mặt đáy.