Khai triển hình hộp chữ nhật và hình lập phương

Khám phá

Mai chuẩn bị hộp quà hình lập phương. Khi mở hộp và trải phẳng, Mai thấy các mặt vuông nối với nhau thành một hình. Liệu cứ ghép đủ sáu hình vuông là sẽ gấp được thành hộp không? Ta cần quan sát cách các mặt nối với nhau và thử hình dung đường gấp.

Kiến thức trọng tâm

Trong mô phỏng, hãy lần theo sáu hình chữ nhật của hộp, rồi thử chỉ ra hai mặt đáy và các mặt xung quanh.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Nhận ra hình khai triển của hình lập phương

Xét cách xếp các mặt vuông dưới đây. Mỗi chữ cái là một mặt; ô trống không phải là mặt.

1. Mặt A có bốn mặt B, C, D, E nối trực tiếp quanh nó.
2. Khi gấp bốn mặt đó lên, chúng tạo thành bốn mặt xung quanh.
3. Mặt F gắn với E sẽ khép phần còn lại của khối lập phương.

Vậy cách xếp này gấp được thành hình lập phương. Mặt A và mặt F đối diện nhau; A và D kề nhau. Sau khi gấp, F cũng kề với các mặt xung quanh.

Ví dụ 2: Ghép các mặt của hình hộp chữ nhật

Một hình hộp chữ nhật có kích thước $6\text{ cm}$, $4\text{ cm}$, $3\text{ cm}$. Hình khai triển có thể xếp như sau:

1. Ở giữa là một mặt kích thước $6\text{ cm} \times 4\text{ cm}$.
2. Bốn mặt gắn quanh mặt giữa là các mặt xung quanh: hai mặt $6\text{ cm} \times 3\text{ cm}$ và hai mặt $4\text{ cm} \times 3\text{ cm}$. Các cạnh tiếp giáp có cùng độ dài.
3. Mặt $6\text{ cm} \times 4\text{ cm}$ ở ngoài cùng khép thành mặt đối diện với mặt giữa.

Vì vậy, hình trên là hình khai triển phù hợp. Hai mặt $6\text{ cm} \times 4\text{ cm}$ đối diện nhau; hai mặt cùng kích thước $6\text{ cm} \times 3\text{ cm}$ cũng đối diện nhau, và cặp mặt $4\text{ cm} \times 3\text{ cm}$ còn lại là một cặp đối diện.

Ví dụ 3: Kiểm tra một cách xếp

Một bạn xếp sáu hình vuông thành một hàng dài. Bạn cho rằng đó là hình khai triển của hình lập phương.

1. Đếm mặt: có đủ $6$ hình vuông.
2. Hình dung gấp các mặt liên tiếp quanh khối: các mặt sẽ quấn vòng quanh, nhưng hai đầu của hàng cùng hướng tới vị trí cần khép lại.
3. Khi khép, hai mặt ở hai đầu sẽ chồng lên nhau thay vì tạo thành hai mặt riêng biệt.

Vậy cách xếp này không phải hình khai triển của hình lập phương. Đủ mặt chưa đủ; cần kiểm tra cả việc gấp có bị chồng mặt hay không.

Lỗi hay gặp / Mẹo nhớ

• Lỗi: Thấy đủ số mặt là kết luận gấp được. Mẹo: Hãy gấp thử trong tưởng tượng và kiểm tra xem có mặt nào chồng lên nhau.
• Lỗi: Nhầm hai mặt cùng kích thước là hai mặt kề nhau. Mẹo: Sau khi gấp, chỉ hai mặt chung một cạnh mới là kề nhau; các mặt ở hai phía đối nhau là mặt đối diện.
• Lỗi: Các mặt chỉ chạm nhau ở một điểm mà vẫn xem là nối. Mẹo: Trong hình khai triển, các mặt cần nối với nhau theo cả một cạnh.

Tự kiểm tra nhanh

1. Hình lập phương có bao nhiêu mặt?
2. Trong hình khai triển ở Ví dụ 1, mặt nào đối diện với A?
3. Một hình có đủ sáu mặt nhưng khi gấp có hai mặt chồng lên nhau. Hình đó có phải hình khai triển phù hợp không?